Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csinB=$\sqrt{3}$bcosC，a²-c²=2b²
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積為21$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC=$\sqrt{3}$，即可得解C的值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a²+b²-c²=ab，又a²-c²=2b²，可得a=3b，利用三角形面積公式即可解得b的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC，
∵sinB≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．  …（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²-c²=ab，
又∵a²-c²=2b²，
∴a=3b，
∴由題意可知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$b²=21$\sqrt{3}$，
∴b²=28，可得：b=2$\sqrt{7}$．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．