Question

13．已知曲線$y=\frac{|x|}{e^x}$在x=-1處的切線和它在x=x₀（x₀＞0）處的切線互相垂直，設(shè)${x_0}∈（\frac{m}{4}，\frac{m+1}{4}），m∈Z$，則m=2．

Answer 1

分析 求出x＜0的函數(shù)的導數(shù)，可得在x=-1處的切線斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得在x=x₀（x₀≠0）處的切線斜率，求出x＞0的函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，構(gòu)造函數(shù)g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，求出導數(shù)，運用零點存在定理，即可判斷m=2．

解答 解：由$y=\frac{|x|}{e^x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，x＞0}\\{-\frac{x}{{e}^{x}}，x＜0}\end{array}\right.$，
得y′=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{{e}^{x}}，x＞0}\\{\frac{x-1}{{e}^{x}}，x＜0}\end{array}\right.$．
∴y′|_x=-1=-2e，$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1-{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}$，
則$-2e•\frac{1-{x}_{0}}{{e}^{1-{x}_{0}}}=-1$，∴（1-x₀）e^1-x₀=$\frac{1}{2}$，
設(shè)t=1-x₀，即有te^t=$\frac{1}{2}$，
令g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，g′（t）=（1+t）e^t，
當m=0時，x₀∈（0，$\frac{1}{4}$），t∈（$\frac{3}{4}$，1）；
當m=1時，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），t∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
當m=2時，x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），t∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
由g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{2}$＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$＞0，
g（$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}{e}^{\frac{3}{4}}$-$\frac{1}{2}$＞0，g（1）=e-$\frac{1}{2}$＞0，
且g（t）在（$\frac{1}{4}$，1）遞增，可得g（t）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）內(nèi)只有一解，
故m=2成立．
故答案為：2．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及函數(shù)零點存在定理的運用，屬于中檔題．