Question

9．已知圓O：x²+y²=2，直線l過點(diǎn)$M（\frac{3}{2}，\frac{3}{2}）$，且OM⊥l，P（x₀，y₀）是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，線段OM與圓O的交點(diǎn)為點(diǎn)N，N'是N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）若在圓O上存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=30°，求x₀的取值范圍；
（3）已知A，B是圓O上不同的兩點(diǎn)，且∠ANN'=∠BNN'，試證明直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）OM⊥l，直線l上的斜率為-1，即可求直線l的方程；
（2）對每個(gè)給定的點(diǎn)P，當(dāng)PQ為圓O的切線時(shí)，∠OPQ最大，此時(shí)OQ⊥PQ，即可求x₀的取值范圍；
（3）已知A，B是圓O上不同的兩點(diǎn)，且∠ANN'=∠BNN'，求出A，B的坐標(biāo)，即可證明直線AB的斜率為定值．

解答 解：（1）∵OM⊥l，∴直線l上的斜率為-1，
∴直線l上的方程為：$y-\frac{3}{2}=-（x-\frac{3}{2}）$，即x+y-3=0．
（2）如圖可知，對每個(gè)給定的點(diǎn)P，當(dāng)PQ為圓O的切線時(shí)，∠OPQ最大，此時(shí)OQ⊥PQ，
若此時(shí)∠OPQ=30°，則$|{OP}|=2|{OQ}|=2\sqrt{2}$，故只需$|{OP}|≤2\sqrt{2}$即可，即$x_0^2+y_0^2≤8$，
又x₀+y₀-3=0⇒y₀=3-x₀，代入得：$x_0^2+（3-x_0^2）≤8⇒2x_0^2-6{x_0}+1≤0⇒\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}≤{x_0}≤\frac{{3+\sqrt{7}}}{2}$．
（3）證明：據(jù)題意可求N（1，1），
∵N'是N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，∠ANN'=∠BNN'，∴k_AN=-k_BN，設(shè)k_AN=k，則k_BN=-k，
則直線AN的方程為：y-1=k（x-1），直線BN的方程為：y-1=-k（x-1），
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1-k}\\{{x^2}+{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消去y得：（1+k²）x²+2k（1-k）x+k²-2k-1=0，
∵${x_A}{x_N}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，∴${x_A}=\frac{{{k^2}-2k-1}}{{1+{k^2}}}$，同理可求${x_B}=\frac{{{k^2}+2k-1}}{{1+{k^2}}}$，${k_{AB}}=\frac{{{y_B}-{y_A}}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{{-（{x_B}+{x_A}）+2k}}{{{x_B}-{x_A}}}=\frac{4k}{3k}=1$，
故直線AB的斜率為定值1．

點(diǎn)評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．