Question

【題目】已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；

（2）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，利用導數(shù)得出函數(shù)在和上均為增函數(shù)，并利用零點存在定理得出函數(shù)在上有一個零點，得出，再證明出也滿足方程，從而得出函數(shù)有兩個零點；

（2）由題意得出，利用這個關(guān)系式得出函數(shù)在點處的切線斜率為，從而證明出題中結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，，

所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞增.

又，.

所以，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，即，即.

又，，

因此，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點.

綜上所述，有且僅有兩個零點；

（2）因為 ，所以點在曲線上.

由題設(shè)，即.

所以直線的斜率

因為曲線在點處切線的斜率是，

曲線在點處切線的斜率也是，

因此，曲線在點處的切線也是曲線的切線.