Question

【題目】已知橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上．不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構成等比數列．

（Ⅰ）求橢圓C的方程．

（Ⅱ）試探究是否為定值？若是，求出這個值；否 則求出它的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）5．

【解析】

試題（Ⅰ）求橢圓標準方程，一般利用待定系數法，只需列出兩個獨立條件解方程組即可；（Ⅱ）研究解析幾何中定值問題，一般利用坐標運算（即解析法）．先將條件、、構成等比數列轉化為坐標：設，則=，再利用直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理得，兩者結合化簡得：，，最后將也用坐標表示并代入化簡為：=

=

試題解析：解：（Ⅰ）由題意可知且，a=2

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）設直線的方程為，

由

且

恰好構成等比數列．=

即

因為，

此時，即

故==

所以是定值為5．