Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ） 令PD中點為F，連接EF，由已知條件推導出四邊形FABE為平行四邊形，由此能證明BE∥面PAD．
（Ⅱ）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ） 證明：令PD中點為F，連接EF，…（1分）
∵點E，F(xiàn)分別是△PCD的中點，
∴EF

∥ .

.

1

2

CD，∴EF

∥ .

.

AB．
∴四邊形FABE為平行四邊形．…（2分）
∴BE∥AF，AF?平面PAD，EF?平面PAD…（4分）
∴BE∥面PAD…（5分）
（Ⅱ）以D為原點，
DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則P（0，0，1），C（0，2，0），
A（1，0，0），B（1，1，0）．
∵E是PC的中點，∴E(0，1，

1

2

)…（6分）
設平面DBE的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

DB

=(1，1，0)，

DE

=(0，1，

1

2

)
∴

n • DB =0 n • DE =0

，∴

x+y=0 y+ 1 2 z=0

，
令x=1，則y=-1，z=2，∴

n

=(1，-1，2)…（9分）
∵平面DBC的一個法向量可為

m

=(0，0，1)
∴cos(

n，

m

)=

2

6

=

6

3

…（12分）
∴二面角E-BD-C的余弦值為

6

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．