Question

3．五一期間，某商場(chǎng)決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)．
（1）試求選出3種商品中至少有一種是家電的概率；
（2）商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高60元，規(guī)定購(gòu)買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)：若中一次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為n元的獎(jiǎng)金；若中兩次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為3n元的獎(jiǎng)金；若中三次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為 6n元的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率都是$\frac{1}{4}$，請(qǐng)問(wèn)：商場(chǎng)將獎(jiǎng)金數(shù)額n最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利？

Answer 1

分析 （1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，
利用對(duì)立事件的概率求出A的概率值；
（2）設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量ξ，
寫(xiě)出ξ的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率值，計(jì)算數(shù)學(xué)期望，
利用數(shù)學(xué)期望值列不等式，求出獎(jiǎng)金數(shù)額n的最高值．

解答 解：（1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，
從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品，一共有$C_9^3$種不同的選法，
選出的3種商品中，沒(méi)有家電的選法有${C}_{6}^{3}$種，
所以選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為
$P（A）=1-\frac{C_6^3}{C_9^3}=1-\frac{5}{21}=\frac{16}{21}$；
（2）設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量ξ，
其所有可能的取值為0，n，3n，6n；（單元：元）
ξ=0表示顧客在三次抽獎(jiǎng)都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{1}{4}）^0}{（1-\frac{1}{4}）^3}=\frac{27}{64}$，
同理$P（ξ=n）=C_3^1{（\frac{1}{4}）^1}{（1-\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{64}$；
$P（ξ=3n）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}（1-\frac{1}{4}）=\frac{9}{64}$；
$P（ξ=6n）=C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}{（1-\frac{1}{4}）^0}=\frac{1}{64}$；
顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是
$Eξ=0×\frac{27}{64}+n×\frac{27}{64}+3n×\frac{9}{64}+6n×\frac{1}{64}=\frac{15n}{16}$，
由$\frac{15n}{16}≤60$，解得n≤64，
所以n最高定為64元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．