Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，且對(duì)于任意的n∈N^*都滿(mǎn)足${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，則數(shù)列{a_na_n+1}的前10項(xiàng)和為$\frac{10}{31}$．

Answer 1

分析 對(duì)于任意的n∈N^*都滿(mǎn)足${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：對(duì)于任意的n∈N^*都滿(mǎn)足${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$為等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2．
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
則數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．
∴則數(shù)列{a_na_n+1}的前10項(xiàng)和=$\frac{10}{31}$．
故答案為：$\frac{10}{31}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．