Question

3．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bsinA=c，D為AC邊上一點(diǎn)．
（1）若D是AC的中點(diǎn)，且$A=\frac{π}{4}$，$BD=\sqrt{26}$，求△ABC的最短邊的邊長．
（2）若c=2b=4，S_△BCD=$\frac{5}{3}$，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合余弦定理求得b，c的值，再在△ABC中由余弦定理求得a，比較大小后可得△ABC的最短邊的邊長；
（2）由c=2b，得sinC=2sinB，代入3bsinA=c，得${sin}A=\frac{2}{3}$，求得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc{sin}A=\frac{8}{3}$，結(jié)合S_△BCD=$\frac{5}{3}$，由比例式求得$CD=\frac{5}{4}$．

解答 解：（1）在△ABD中，∵$A=\frac{π}{4}$，3bsinA=c，
∴$c=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}b$，由余弦定理可得${c^2}+\frac{1}{4}{b^2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}bc=26$，
解得$b=2\sqrt{2}，c=6$．
在△ABC中，${cos}A=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{8+36-{a^2}}}{{24\sqrt{2}}}$，
解得$a=2\sqrt{5}$，
∴△ABC的最短邊的邊長$2\sqrt{2}$；
（2）∵c=2b，∴sinC=2sinB，
由3bsinA=c，得sinAsinB=$\frac{1}{3}$sinC，∴${sin}A=\frac{2}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc{sin}A=\frac{8}{3}$，
由$\frac{CD}{AC}=\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{8}{3}}=\frac{5}{8}$，
∴$CD=\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．