Question

20．已知函數(shù)$f（x）=4x+\frac{1}{x-1}$．
（1）當(dāng)x＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤a恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）變形函數(shù)，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解最小值．
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤a恒成立，只需求解f（x）的最大值即可得a的最小值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4x+\frac{1}{x-1}$．
（1）化簡(jiǎn)$f（x）=4（x-1）+\frac{1}{x-1}+4$．
∵x＞1，
∴x-1＞0
∴$4（x-1）+\frac{1}{x-1}≥4$（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{3}{2}$）
∴f（x）_min=8．
故得函數(shù)f（x）的最小值為8．
（2）化簡(jiǎn)$f（x）=4（x-1）+\frac{1}{x-1}+4$．
∵x＜1，
∴x-1＜0．
∴$4（x-1）+\frac{1}{x-1}≤-4$（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{2}$）
∴f（x）_max=0
f（x）≤a恒成立，
∴a≥0
即a_min=0．
故得a的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式在最值中的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于中檔題．