Question

9．釣魚(yú)島自古以來(lái)就是我國(guó)的神圣領(lǐng)土．為維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國(guó)海監(jiān)和漁政部門(mén)對(duì)釣魚(yú)島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國(guó)釣魚(yú)島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A(yíng)船的正東方向，且兩船保持40海里的距離，某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測(cè)得在A(yíng)的東北方向，B的北偏東15°方向有一艘某國(guó)海上保安廳艦船C．
（1）求cos∠ACB的值；（保留2個(gè)有效數(shù)字，$\sqrt{2}$=1.14，$\sqrt{3}$=1.732）
（2）海監(jiān)船B奉命以每小時(shí)45海里的速度前往C處對(duì)某國(guó)艦船進(jìn)行驅(qū)逐，那么海監(jiān)船B到達(dá)C處最少需要多少時(shí)間？（假定艦船C在原處不動(dòng)，結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）過(guò)B作BD⊥AC 于D，求出∠ACB，然后求解余弦函數(shù)值即可．
（2）在Rt△ABD中求出BD，在Rt△BCD中，求出BC，然后求解海監(jiān)船B需要的時(shí)間．

解答 解：（1）過(guò)B作BD⊥AC 于D，
由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°，
所以cos∠ACB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≈$0.87；
（2）在Rt△ABD中BD=AB•sin∠BAD=40×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=20$\sqrt{2}$（海里），
在Rt△BCD中，BC=$\frac{BD}{sin∠BCD}$=$\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=40$\sqrt{2}$（海里）∴海監(jiān)船B需要$\frac{40\sqrt{2}}{45}$=1.3小時(shí)，
答：海監(jiān)船B趕往C處最少需要1.3小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．