Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，-2），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=3cosθ；直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B．
（1）求直線l和曲線C的普通方程；
（2）求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，把直線的參數(shù)式轉(zhuǎn)化為普通式，進(jìn)一步把曲線的極坐標(biāo)式轉(zhuǎn)化為普通式．
（2）首先把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，進(jìn)一步代入曲線方程得到：${t}^{2}-6\sqrt{2}t+4=0$，進(jìn)一步利用根和系數(shù)的關(guān)系求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 為參數(shù)）的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程為：x-y-3=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=3cosθ轉(zhuǎn)化為普通方程為；y²=2x．
（2）把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+m}\\{y=-2+m}\end{array}\right.$（m 為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，代入曲線方程；y²=2x．
得到：${t}^{2}-6\sqrt{2}t+4=0$
求得：t₁+t₂=6$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4
所以：$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{6\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線方程與曲線方程的位置關(guān)系，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題型．