12.已知長方形ABCD如圖1中,AD=$\sqrt{3}$,AB=2,E為AB中點,將△ADE沿DE折起到△PDE,所得四棱錐P-BCDE如圖2所示.

(Ⅰ)若點M為PC中點,求證:BM∥平面PDE;
(Ⅱ)當平面PDE⊥平面BCDE時,求三棱錐E-PCD的體積.

分析 (Ⅰ)取DP中點F,連結(jié)EF、FM,推導(dǎo)出FEBM是平行四邊形,從而BM∥EF,由此能證明BM∥平面PDE.
(Ⅱ)過P作PH⊥DE于H,則PH⊥平面EBCD,三棱錐E-PCD的體積VE-PCD=VP-DEC,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(Ⅰ)取DP中點F,連結(jié)EF、FM,
∵△PDC中,點F、M分別是DP、PC的中點,
∴FM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC,又EB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC,
∴FM$\underset{∥}{=}$EB,∴FEBM是平行四邊形,∴BM∥EF,
又EF?平面PDE,BM?平面PDE,
∴BM∥平面PDE.
解:(Ⅱ)∵平面PDE⊥平面EBCD,且平面PDE∩平面EBCD=DE,
過P作PH⊥DE于H,∴PH⊥平面EBCD,
在Rt△PDE中,過P作PH⊥DE于H,∴PH⊥平面EBCD,
在Rt△PDE中,由題意得PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
在Rt△DEC中,DE=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{{1}^{2}}_{\;}}$=2,且DE=EC=2,
∴${S}_{△DEC}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,
∴三棱錐E-PCD的體積VE-PCD=VP-DEC=$\frac{1}{3}×{S}_{△DEC}×PH$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查線面平行的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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