Question

14．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個頂點(diǎn)，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，若點(diǎn)M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點(diǎn)N（$\frac{{x}_{0}}{a}$，$\frac{{y}_{0}}$）稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試探討△AOB的面積S是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由D，E是橢圓的兩個頂點(diǎn)，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，y₁），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}，{y}_{2}$），由OP⊥OQ，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，S=1．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，m≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式能求出△ABC的面積為1．

解答 解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
D，E是橢圓的兩個頂點(diǎn)，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，|DE|=$\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{^{2}+{a}^{2}=5}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，y₁），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}，{y}_{2}$），
由OP⊥OQ，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+{y}_{1}{y}_{2}$=0，（*）
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，S=$\frac{1}{2}$|x₁|×|y₁-y₂|=1．
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，m≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²+1-m²），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
同理，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，代入（*），整理，得4k²+1=2m²，
此時，△=16m²＞0，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{|m|}$，
h=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴S=1，
綜上，△ABC的面積為1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．