Question

5．如圖，半徑為1的扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)C在$\widehat{AB}$上，且∠COA=30°，若$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+μ\overrightarrow{OB}$，則λ+μ$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)C作CE∥OA，CD∥OB，分別交OB，OA于點(diǎn)E，D．∠BOD=120°，可得CDO=60°．又∠COD=30°，可得∠OCD=90°．OC=1，可得CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．再利用向量共線定理、向量平行四邊形法則．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)C作CE∥OA，CD∥OB，分別交OB，OA于點(diǎn)E，D．
∵∠BOD=120°，∴CDO=60°．
又∠COD=30°，∴∠OCD=90°．
∵OC=1，∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$，
又$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+μ\overrightarrow{OB}$，
則λ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴λ+μ=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、向量平行四邊形法則、平面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．