Question

16．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A₁-BD-C的正切值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\sqrt{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先找二面角A₁-BD-A的平面角，在△A₁OA中，∠A₁OA即為二面角A₁-BD-A的平面角．根據(jù)二面角A₁-BD-C與二面角A₁-BD-A 互為補角進行求解即可．

解答 解：連接AC交BD與點O如圖所示，
因為AA₁⊥BD，AC⊥BD，
所以∠A₁OA即為二面角A₁-BD-A的平面角，
∠A₁OC即為二面角A₁-BD-C的平面角，
且二面角A₁-BD-C與二面角A₁-BD-A 互為補角，
在△A₁OA中，設AA₁=a，則AO=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
所以二面角A₁-BD-A的正切值為tan∠A₁OA=$\frac{{A}_{1}A}{AO}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$，
∵tan∠A₁OC=tan（π-∠A₁OA）=-tan∠A₁OA=-$\sqrt{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查二面角的大小求解，根據(jù)二面角的定義，找出二面角的平面角是解決本題的關鍵．注意由于二面角A₁-BD-C是鈍二面角根據(jù)條件轉化為求二面角A₁-BD-A進行求解．