Question

4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，F(xiàn)為AP的中點(diǎn)，M、N、D、E分別為線段PC、PB、AC、AB上的動點(diǎn)，且MN∥BC∥DE．
（I）求證：DE⊥面PAC；
（Ⅱ）若M是PC的中點(diǎn)，D是線段AC靠近A的一個三等分點(diǎn)，求二面角F-MN-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DE⊥面PAC；
（Ⅱ）根據(jù)二面角平面角的定義得到∠FMD是二面角F-MN-D的平面角，進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（I）∵AC⊥BC，BC∥DE，
∴AC⊥DE，
∵PA⊥平面ABC，DE?平面ABC，
∴PA⊥DE，
∵AC∩PA=A，
∴DE⊥面PAC；
解：（Ⅱ）∵M(jìn)N∥DE，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，
∴MN⊥平面PAC，
∴MN⊥FN，MN⊥DM，
∴∠FMD是二面角F-MN-D的平面角，
∵2AC=PC=2，
∴AC=1，PC=2，
∴由條件知∠ACP=30°，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{2}{3}$，
則DM=$\sqrt{1+\frac{4}{9}-2×1×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
FD=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{31}}{6}$，
∴在△FMD中，cos∠FMD=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{7}{9}-\frac{31}{36}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．