5．求證：對一切正整數n，都有：1n+1+1n+2+…+1n+n＜710．
分析 構造函數y=1x，利用函數在（0，+∞）是凹函數，由圖象結合曲邊梯形的面積表示得到證明．
解答 
證明：構造函數y=1x，因為此函數在（0，+∞）
是凹函數，由圖象可知，
在區(qū)間[n，2n]上的n個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，
所以1n+1+1n+2+…+12n＜∫2nn1xdx
=lnx|2nn=ln2n-lnn=ln2≈0.6931＜710．
則對一切正整數n，都有：1n+1+1n+2+…+1n+n＜710．
點評 本題考查了不等式的證明，注意采用定積分的幾何意義證明，通過面積關系證明，屬于難題．
