Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（1）解不等式，f（x）+f（x+3）≤4；
（2）若a＞0，求證：f（ax）+af（x）≥f（a）．

Answer 1

分析 （1）通過當(dāng)x≤-2時(shí)，當(dāng)-2＜x≤1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．
（2）化簡f（ax）+af（x）=|ax-1|+a|x-1|，利用絕對值的幾何意義，證明即可．

解答 解：（1）由題意，得f（x）+f（x+3）=|x-1|+|x+2|，
因此只需解不等式|x-1|+|x+2|≤4．
當(dāng)x≤-2時(shí)，原不等式等價(jià)于-2x-1≤4，即$-\frac{5}{2}≤x≤-2$；
當(dāng)-2＜x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于3≤4，即-2＜x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于2x+1≤4，即$1＜x≤\frac{3}{2}$，
綜上，原本不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{5}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$．
（2）證明：由題意得f（ax）+af（x）=|ax-1|+a|x-1|=|ax-1|+|ax-a|≥|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|=f（a）
所以a＞0，f（ax）+af（x）≥f（a）．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的證明以及不等式的解法，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．