Question

8．已知條件p：$\frac{4}{x-1}$≤-1，條件q：x²+x＜a²-a，且￢q的一個充分不必要條件是￢p，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先化簡p，q，根據(jù)￢q的一個充分不必要條件是￢p等價于p是q的一個必要不充分條件，分類討論即可求出a的取值范圍．

解答 解：由$\frac{4}{x-1}$≤-1，得p：-3≤x＜1，----------------------------------------------（2分）
由x²+x＜a²-a得（x+a）[x-（a-1）]＜0，------------------------（3分）
當a=$\frac{1}{2}$時，q：∅；
當a＜$\frac{1}{2}$時，q：（a-1，-a）；
當a＞$\frac{1}{2}$時，q：（-a，a-1）．----------------------------------------------------------（6分）
由題意得，p是q的一個必要不充分條件，
當a=$\frac{1}{2}$時，滿足條件；
當a＜$\frac{1}{2}$時，（a-1，-a）⊆[-3，1]得a∈[-1，$\frac{1}{2}$），
當a＞$\frac{1}{2}$時，（-a，a-1）⊆[-3，1]得a∈（$\frac{1}{2}$，2]，--------------------------------（10分）
綜上，a∈[-1，2]---------------------------------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了充分必要條件，考查了集合之間的關系，是一道中檔題．