Question

7．已知數(shù)列{a_n}的遞推公式a_n-a_n-1=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，且a₁=$\sqrt{2}$，求數(shù)列{a_n}的通項．

Answer 1

分析 當n=1時，a₁=$\sqrt{2}$，當n≥2時，化簡a_n-a_n-1=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，從而利用累加法求得．

解答 解：當n=1時，a₁=$\sqrt{2}$，
當n≥2時，a_n-a_n-1=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
即a₂-a₁=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
a₃-a₂=2-$\sqrt{3}$，
…，
a_n-a_n-1=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
累加化簡可得，
a_n-a₁=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{2}$，
故a_n=$\sqrt{n+1}$，
a₁=$\sqrt{2}$也滿足上式，
故a_n=$\sqrt{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法，同時考查了分類討論及歸納法的應(yīng)用．