解:(I)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上恒成立.則f′(x)=x-
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≥0在(1,+∞)上恒成立,
即:a≤x
2在(1,+∞)上恒成立.所以有a≤1.
(II)當(dāng)a=0時,f(x)在定義域(0,+∞)上恒大于0,此時方程無解;
當(dāng)a<0時,f′(x)=x-
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>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù).
∵f(1)=
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>0,f(
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)=
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,所以方程有惟一解.
當(dāng)a>0時,f′(x)=x-
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=
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因?yàn)楫?dāng)x
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時,f′(x)>0,f(x)在
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內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)x
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/120518.png)
時,f(x)在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13878.png)
內(nèi)為增函數(shù).
所以當(dāng)x=
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時,有極小值即為最小值f(
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)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/120519.png)
.
當(dāng)a∈(0,e)時,f(
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)=
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>0,此方程無解;
當(dāng)a=e時,f(
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)=
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=0此方程有惟一解x=
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.
當(dāng)a∈(e,+∞)時,f(
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)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/120520.png)
<0
因?yàn)閒(1)=
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>0且1
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,所以方程f(x)=0在區(qū)間(0,
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)上有惟一解,
因?yàn)楫?dāng)x>1時,(x-lnx)′>0,所以x-lnx>1,
所以x>lnx,f(x)=
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>
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,
因?yàn)?a>
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>1,所以f(x)
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=0,
所以方程f(x)=0在區(qū)間(
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,+∞)上有惟一解.所以方程f(x)=0在區(qū)間(e,+∞)上有兩解.
綜上所述:當(dāng)a∈[0,e)時,方程無解;當(dāng)a<0或a=e時,方程有惟一解;
當(dāng)a>e時方程有兩解.
分析:(I)根據(jù)函數(shù)f(x)在(1,+∞)為增函數(shù),我們易得F′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題,進(jìn)而求出a的取值范圍;
(Ⅱ)對a進(jìn)行分類討論:當(dāng)a=0時,當(dāng)a<0時,當(dāng)a>0時.把a(bǔ)代入f(x)中確定出f(x)的解析式,然后根據(jù)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性得到f(x)的最小值,根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點(diǎn)即零點(diǎn)個數(shù)為0.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時考查分類討論的思想,計算能力,屬于難題題.此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值,掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法,是一道綜合題.