Question

已知函數.

（1）當時，求函數的單調區(qū)間；

（2）若時，函數在閉區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）單調增區(qū)間分別為，，單調減區(qū)間為；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值以及不等式的基礎知識，考查分類討論思想，考查綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，當時，函數解析式中沒有參數，直接求導，令導數大于0和小于0，分別解出函數的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；第二問，因為的兩個根是和1，所以需要討論和1的大小，分3種情況進行討論，分別列表判斷函數的單調性、極值、最值，求出函數在閉區(qū)間上的最大值判斷是否等于，求出的取值范圍.

試題解析：     2分

（1）當時，

當或時，,

當，，

所以的單調增區(qū)間分別為，，      5分

的單調減區(qū)間為.

（2）（Ⅰ）當時，，在 上單調遞增，最大值為

（Ⅱ）當時，列表如下：

x	0	(0,a)	a	(a,1)	1	(1,1+a)	a+1
f/(x)		+	0	-	0	+
f(x)		增	極大值f(a)	減		增

由表知在上的最大值，只有可能是或

所以只需

解得，此時.

（Ⅲ）當時，列表如下：

x	0	(0,1)	1	(1 ,a)	a	(a,1+a)	a+1
f/(x)		+	0	-	0	+
f(x)		增	極大值f(1)	減		增

由表知在上的最大值，只有可能是或

所以只需

解得，此時.      11分

由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得，

所以滿足條件的的取值范圍是.       12分

考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.利用導數求函數的極值和最值；3.作差法比較大小.