Question

某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)1臺需要增加投入25元，為了對今后的銷售提供參考數(shù)據(jù)，對銷售市場進行調(diào)查后得知，市場對此產(chǎn)品的需求量為每年500臺，已知銷售收入函數(shù)為：H（x）=500x-

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x²，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500．
（Ⅰ）若x為年產(chǎn)量，y為利潤，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）當年產(chǎn)量為何值時，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識，當0≤x≤500時，y=500x-

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x2-（5000+25x），當x＞500時，y=500×500-

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×500²-（5000+25x）；
（Ⅱ）用配方法化簡解析式，求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當0≤x≤500時，產(chǎn)品全部售出，
∴y=500x-

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x²-（5000+25x）
即y=-

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x²+475x-5000，
當x＞500時，產(chǎn)品只能售出500臺，
∴y=500×500-

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×500²-（5000+25x）
即，y=-25x+120000，
則有y=

- 1 2 x2+475x-5000，0≤x≤500 120000-25x，x＞500

；
（Ⅱ）當0≤x≤500時，y=-

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（x-475）²+107812.5，
當x＞500時，y=120000-25x＜120000-25×500=107500，
故當年產(chǎn)量為475臺時取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．