Question

（14分）設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

（1）橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）.
（2）為所求的軌跡方程.
（3）k_PM·k_PN=.證明略

解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.又點A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1.
所以橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）.
（2）設橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：
， 即x₁=2x+1，y₁=2y.
因此=1.即為所求的軌跡方程.
（3）類似的性質為：若M、N是雙曲線：=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（－m，－n），其中=1.
又設點P的坐標為（x，y），由，
得k_PM·k_PN=，將m²－b²代入得k_PM·k_PN=.