Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx-kx（k＞0）
（1）若函數(shù)f（x）在$（0，\frac{π}{2}]$單調遞增，求k的取值范圍
（2）設g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的圖象在y=f（x）的圖象上方，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，f′（x）=cosx+$\frac{1}{x}$-k≥0，則k≤cosx+$\frac{1}{x}$，（cosx+$\frac{1}{x}$）_min即可；
（2）由題意得x＞0時，g（x）＞f（x）恒成立，化為lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，h（x）=lnx-kx，利用導數(shù)求其最大值即可．

解答 解：（1）由題意，f′（x）=cosx+$\frac{1}{x}$-k≥0，則k≤cosx+$\frac{1}{x}$，
而cosx+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{π}{2}$]上單調遞減，
則（cosx+$\frac{1}{x}$）_min=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{2}{π}$=$\frac{2}{π}$，則k∈（0，$\frac{2}{π}$]；
（2）由題意得x＞0時，g（x）＞f（x）恒成立，
則lnx-kx＜0（x＞0）恒成立，
令h（x）=lnx-kx，h′（x）=$\frac{1}{x}$-k，
x∈（0，$\frac{1}{k}$）時，h′（x）＞0，
x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）時，h′（x）＜0，
則h_max（x）=h（$\frac{1}{k}$）=ln$\frac{1}{k}$-1＜0，
則k＞$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題化成最值問題的處理方法，是一道中檔題．