Question

6．已知對任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，則當a+b取得最小值時，a的值是-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可令sinx+cosx=-$\frac{1}{2}$，兩邊平方，結(jié)合二倍角正弦公式，代入原式可得a+b≥-2，考慮最小值-2，再令t=sinx+cosx，求得t的范圍，化簡整理可得t的二次不等式，運用判別式小于等于0，即可求得a，b的值，再代入檢驗即可得到a的值．

解答 解：由題意可令sinx+cosx=-$\frac{1}{2}$，
兩邊平方可得1+2sinxcosx=$\frac{1}{4}$，
即有sin2x=-$\frac{3}{4}$，
代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得-$\frac{3}{2}$a-$\frac{3}{2}$b≤3，
可得a+b≥-2，
當a+b=-2時，令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即有sin2x=t²-1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，
可得-2bt²+3（2+b）t+3+2b≥0，對t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]恒成立，
則△=9（2+b）²+8b（3+2b）≤0，
即為（5b+6）²≤0，但（5b+6）²≥0，則5b+6=0，可得b=-$\frac{6}{5}$，a=-$\frac{4}{5}$．
而當b=-$\frac{6}{5}$，a=-$\frac{4}{5}$時，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=-$\frac{12}{5}$t-$\frac{12}{5}$（t²-1）
=-$\frac{12}{5}$（t+$\frac{1}{2}$）²+3≤3．
所以當a+b取得最小值-2，此時a=-$\frac{4}{5}$．
故答案為：-$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用賦值法和換元法，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，以及審題能力，屬于難題．