Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（x+3）+ax+2（a∈R）在點(diǎn)x=-2處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+kx（k∈R）在區(qū)間（-3，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，即可求出a的值，
（2）g（x）=f（x）+kx（k∈R）在區(qū)間（-3，2]上是增函數(shù)，可以對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為g′（x）＞0在區(qū)間（-3，2]上恒成立，從而求解

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+3）+ax+2，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+3}$+a，
∵f（x）在x=-2處取得極值，
∴f′（-2）=$\frac{1}{-2+3}$+a=0，
解得：a=-1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
（2）由（1）可知f（x）=ln（x+3）-x+2，
∴g（x）=ln（x+3）+（k-1）x+2，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+3}$+k-1
∵g（x）在區(qū)間（-3，2]上為增函數(shù)，
∴g′（x）＞0在區(qū)間（-3，2]上恒成立，
即k≥1-$\frac{1}{x+3}$在（-3，2]上恒成立，而1-$\frac{1}{x+3}$在此區(qū)間上的最大值為$\frac{4}{5}$，
故k≥$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，綜合性比較強(qiáng)；