Question

12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個多面體的三視圖，若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O表面上，則球O的表面積是（　　）

• A． 36π
• B． 48π
• C． 56π
• D． 64π

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖知幾何體是三棱錐為棱長為4的正方體一部分，畫出直觀圖，由正方體的性質(zhì)求出球心O到平面ABC的距離d、邊AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圓的半徑r，由勾股定理求出球O的半徑，由球的表面積公式求解．

解答 解：根據(jù)三視圖知幾何體是：
三棱錐D-ABC為棱長為4的正方體一部分，直觀圖如圖所示：
∵該多面體的所有頂點(diǎn)都在球O，且球心O是正方體的中心，
∴由正方體的性質(zhì)得，球心O到平面ABC的距離d=2，
由正方體的性質(zhì)可得，
AB=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，AC=$4\sqrt{2}$，
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2•AC•BC}$=$\frac{32+4-20}{2×4\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ACB=45°，則sin∠ACB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理可得，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{10}$，則r=$\sqrt{10}$，
即球O的半徑R=$\sqrt{{r}^{2}+2kce2h7^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴球O的表面積S=4πR²=56π，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體外接球的表面積，正弦定理、余弦定理，以及正方體的性質(zhì)，結(jié)合三視圖和對應(yīng)的正方體復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．