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4.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程是{x=2+45ty=1+35t(t為參數(shù)),以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線l的參數(shù)方程化為普通方程;
(2)若直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng)度.

分析 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,可得曲線C的直角坐標(biāo)方程;運(yùn)用代入法,可得直線的普通方程;
(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線C的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義,即可得到所求MN的長(zhǎng).

解答 解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y22,
可得曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ,
即為ρ2=4ρcosθ,即有x2+y2-4x=0;
直線l的參數(shù)方程是{x=2+45ty=1+35t(t為參數(shù)),
消去t,可得直線l的直角坐標(biāo)方程3x-4y-2=0;
(2)將直線l的參數(shù)方程是{x=2+45ty=1+35t(t為參數(shù))
代入圓的方程x2+y2-4x=0,可得:
t2+65t-3=0,t1+t2=-65,t1t2=-3.
則|MN|=|t1-t2|=t1+t224t1t2=6524×3=4215

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,以及參數(shù)方程和普通方程的互化,注意運(yùn)用代入法,同時(shí)考查直線的參數(shù)方程的運(yùn)用,注意參數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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