Question

15．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤a}\\{x≥1}\end{array}$，其中a=$\int_0^3$（x²-1）dx，則實數(shù)$\frac{y}{x+1}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的積分公式求出a的值，然后作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)直線斜率的公式進行求解即可．

解答 解：a=$\int_0^3$（x²-1）dx=（$\frac{1}{3}$x³-x）|${\;}_{0}^{3}$=$\frac{1}{3}×$3³-3=9-3=6，
則不等式組等價為$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-1，0）的斜率，
由圖象知AD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此時AD的斜率k=$\frac{4}{2+1}$=$\frac{4}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)積分公式先求出a的值，利用數(shù)形結(jié)合以及直線的斜率公式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．