Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點P（2，c）處有相同的切線（P為切點），求a，b的值；
（2）令h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]，求函數(shù)h（x）在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值M（a）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到x=-$\frac{\sqrt}{3}$是方程3x²+2ax+b=0的一個根，求出a，b的關(guān)系，通過討論a的范圍，求出M（a）即可．

解答 解：（1）由p（2，c）為公共切點可得：f（x）=ax²+1（a＞0），
則f′（x）=2ax，k₁=4a，
g（x）=x³+bx，則g′（x）=3x²+b，k₂=12+b，
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a=12+b}\\{4a+1=8+2b}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{17}{4}$，b=5；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
∴h′（x）=3x²+2ax+b，
∵h（x）的單調(diào)減區(qū)間為[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]，
∴x∈[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt}{3}$]時，有3x²+2ax+b≤0恒成立，
此時x=-$\frac{\sqrt}{3}$是方程3x²+2ax+b=0的一個根，
∴a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1，
又∵h（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）單調(diào)遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）單調(diào)遞減，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上單調(diào)遞增，
若-1≤-$\frac{a}{2}$，即a≤2時，最大值為h（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
若-$\frac{a}{2}$＜-1＜-$\frac{a}{6}$，即2＜a＜6時，最大值為h（-$\frac{a}{2}$）=1；
若-1≥-$\frac{a}{6}$，即a≥6時，
∵h（-$\frac{a}{2}$）=1，h（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$＜h（-$\frac{a}{2}$）=1，∴最大值為1，
綜上，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{{a}^{2}}{4}，0＜a≤2}\\{1，a＞2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．