Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP=OC，PA⊥PD．求證：
（1）直線PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE，說明OE∥PA．然后證明PA∥平面BDE．
（2）證明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后證明平面BDE⊥平面PCD．

解答 證明：（1）連結(jié)OE，因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．
又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥PA．  …4分
又因?yàn)镺E?平面BDE，PA?平面BDE，
所以直線PA∥平面BDE．  …6分
（2）因?yàn)镺E∥PA，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD．  …8分
因?yàn)镺P=OC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PC． …10分
又因?yàn)镻D?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，
所以O(shè)E⊥平面PCD． …12分
又因?yàn)镺E?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．  …14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．