Question

20．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{4}$．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)的取值范圍是[-1，1]，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=9$，點(diǎn)N是以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線方程，聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$消去x得：y²-2pty-p²=0，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，求出p，即可求拋物線的方程；
（2）由（1）知，${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}，{y_1}{y_2}=-1，{y_1}+{y_2}=2t$，結(jié)合$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=9$，確定t的范圍，根據(jù)拋物線的定義可知，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=t$，即可求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為$（\frac{p}{2}，0）$
直線l的方程為$x=ty+\frac{p}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$消去x得：y²-2pty-p²=0，
所以${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}，{x_1}{x_2}=（t{y_1}+\frac{p}{2}）（t{y_2}+\frac{p}{2}）=\frac{p^2}{4}$，
因?yàn)?\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{{3{p^2}}}{4}=-\frac{3}{4}$，解得p=1，
所以所求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2x．
（2）設(shè)點(diǎn)$M（-\frac{1}{2}，m），-1≤m≤1$，
由（1）知，${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}，{y_1}{y_2}=-1，{y_1}+{y_2}=2t$，所以${x_1}+{x_2}=2{t^2}+1$，
因?yàn)?\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+（{y_1}-m）（{y_2}-m）={（t-m）^2}$，
所以（t-m）²=9得t=m+3或t=m-3，
因?yàn)?1≤m≤1，∴2≤t≤4或-4≤t≤-2，
由拋物線定義可知，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=t$，
所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是[-4，-2]∪[2，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．