Question

15．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)a=1．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使z=ax+y取最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則目標函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
a＞0，則目標函數(shù)的斜率k=-a＜0．
平移直線y=-ax+z，
由圖象可知當直線y=-ax+z和直線x+y=3平行時，此時目標函數(shù)取得最小值時最優(yōu)解有無數(shù)多個，
此時-a=-1，即a=1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，利用z的幾何意義是解決本題的關鍵．