Question

1．已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=CD=BD=2$\sqrt{3}$，則球O的體積為（　�。�

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． 36π

Answer 1

分析 證明AC⊥AB，可得△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{3}$，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設球心到平面ABC的距離為h，則h²+3=R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）²，求出球的半徑，即可求出球O的體積．

解答 解：∵AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{3}$，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC邊的高上，
設球心到平面ABC的距離為h，則h²+3=R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）²，
∴h=1，R=2，
∴球O體積為$\frac{4}{3}•π•{2}^{3}$=$\frac{32}{3}π$．
故選：C．

點評 本題考查球O的體積，考查學生的計算能力，確定球的半徑是關鍵．