Question

【題目】已知二次函數(shù)y=f（x）滿足f（0）=3，且f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，

∵f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣ax2﹣bx﹣c=2ax+a+b=2x﹣1，

∴2a=2，a+b=﹣1，

∴a=1，b=﹣2，

∵f（0）=3

∴c=3，

則f（x）=x2﹣2x+3

（2）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，對(duì)稱軸為x=1，

當(dāng)﹣2＜t≤4時(shí)，g（t）=f（﹣2）=11；，

當(dāng)t＞4時(shí)，g（t）=f（t）=t2﹣2t+3，

∴g（t）= ；

（3）解：由（1）得f（x）=x2﹣2x+3，

則f（x）min=f（1）=2，

∴2m≥2，

∴m≥1，

∴y=f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，

∴ ，

∴m，n即為方程x2﹣2x+3=2x的兩個(gè)相異實(shí)根，且m＜n，

∴m=1，n=3，

∴存在m=1，n=3滿足條件

【解析】（1）先設(shè)出二次函數(shù)y=f（x）的解析式，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1求得系數(shù)a，b的值，再由f（0）=3求得系數(shù)c的值，即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)t進(jìn)行分類討論求得函數(shù)在區(qū)間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值函數(shù)g（t）；（3）先判斷函數(shù)f（x）在[m，n]上為增函數(shù)，若滿足題設(shè)條件的m，n存在則從而求得m，n的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．