Question

16．已知函數f（x）的導函數為f′（x），若x²f′（x）+xf（x）=sinx，x∈（0，6），f（π）=2，則下列結論正確的是④
①xf（x）在（0，6）單調遞減         
②xf（x）在（0，6）單調遞增
③xf（x）在（0，6）上有極小值2π    
④xf（x）在（0，6）上有極大值2π

Answer 1

分析 設g（x）=xf（x），得到g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，得到函數的極大值，從而求出答案．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
設g（x）=xf（x），則g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜π，g′（x）＜0，解得：π＜x＜6，
∴x=π時，函數g（x）=xf（x）取得最大值g（π）=πf（π）=2π，
故④正確，
故答案為：④．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，構造函數g（x）=xf（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．