Question

2011年六月康菲公司由于機器故障，引起嚴重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海漁場也受到污染．為降低污染，漁場迅速切斷與海水聯(lián)系，并決定在漁場中投放一種可與石油發(fā)生化學反應的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數(shù)關系式近似于y=af（x），其中f（x）=

16 8-x -1(0≤x≤4) 5- 1 2 x(4＜x≤10)

，若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)實驗，當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）時稱為最佳凈化．
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放a個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試問a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：

2

取1.4）．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）由a=4，得y=a•f（x），即y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；令y≥4，解得x的取值范圍．
（Ⅱ）要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，即當6≤x≤10時，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）因為a=4，所以y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；
則當0≤x≤4時，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時0≤x≤4，
當4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時4＜x≤8；
綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個單位的制劑，則有效治污時間可達8天．
（Ⅱ）當6≤x≤10時，y=2×（5-

1

2

x）+a[

16

8-(x-6)

-1]=（14-x）+

16a

14-x

-a-4，
因為，14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以，4

a

∈[4，8]，由基本不等式得，當且僅當14-x=4

a

時，y有最小值為8

a

-a-4；
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，所以a的最小值為1.6．

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查分段函數(shù)的運用，考查基本不等式的運用，確定函數(shù)解析式是關鍵．