Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）解關于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據向量的數量積和兩角和的正弦公式和正弦函數的性質即可求出，
（2）解有關三角函數的不等式即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，x∈R，
∴函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
當x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，有最大值，f（x）_max=1，
（2）由（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵f（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z，
∴不等式的解集為{x|2kπ≤x≤$\frac{2}{3}π$+2kπ，k∈Z}

點評 本題考查了向量的數量積和三角函數的化簡和性質以及不等式的解法，屬于基礎題．