分析 根據(jù)條件可以判斷△ABC為Rt△,∠B=90°,并得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,求出cos$∠BAC=\frac{\sqrt{3}}{3}$,而$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})•\overrightarrow{AC}$,這樣進行數(shù)量積的運算便可求出$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}$的值.
解答 解:∵AB2+BC2=AC2;
∴∠B=90°如圖,在Rt△ABC中,$cos∠BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
∵G為BC中點;
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$;
∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2})$
=$\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos∠BAC+|\overrightarrow{AC}{|}^{2})$
=$\frac{1}{2}(1+3)$=2.
故答案為:2.
點評 考查直角三角形邊的關(guān)系,余弦函數(shù)的定義,以及向量加法的平行四邊形法則,向量數(shù)量積的運算及計算公式.
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A. | 2xcosx-x2sinx | B. | 2xcosx+x2sinx | C. | 2xsinx | D. | -2xsinx |
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A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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A. | 垂直 | B. | 共線 | C. | 不垂直 | D. | 以上都有可能 |
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A. | -3×360°-315° | B. | -9×180°-45° | C. | -4×360°+315° | D. | -3×360°+45° |
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