Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）sin2x-$\frac{1}{4}$（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，再由兩角和與差的正弦化積，由周期公式求得周期，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由x得范圍求出相位的范圍，則函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值和最小值可求．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2xcos2x+\frac{1}{2}{sin^2}2x-\frac{1}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin4x+\frac{1}{4}（1-cos4x）-\frac{1}{4}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin4x-\frac{1}{4}cos4x=\frac{1}{2}sin（4x-\frac{π}{6}）$，
最小正周期T=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤4x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，0]，得4x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{7π}{6}，-\frac{π}{6}$]，
∴$sin（4x-\frac{π}{6}）∈[{-1，\frac{1}{2}}]$，
則f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值為$\frac{1}{4}$，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．