Question

已知函數f（x）=[ax²-（3+2a）x+a]•e^x+1，a≠0．
（1）若x=-1是函數f（x）的極大值點，求a的取值范圍．
（2）若不等式f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數x的取值范圍．
（3）記函數g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1，若g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，利用x=-1是函數f（x）的極大值點，可得

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，從而求出參數的范圍；（2）問題等價于（x²+1）a-x²-4x-3＞0對任意a∈（0，+∞）都成立，從而解不等式可得；（3）g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，從而可解．

解答：解：（1）

f′(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1 =[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0

x1=-1，x2=

a+3

a

，
若x=-1是函數f（x）的極大值點，∴

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，
解得，-

3

2

＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1?（x²+1）a-x²-4x-3＞0對任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x²-4x-3≥0?-3≤x≤-1（10分）
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1=[ax²-（3+2a）x+3a+6]•e^x+1
g′（x）=（ax²-3x+a+3）•e^x+1
g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
變量分離得，a=

3x-3

x2+1

令t(x)=

3x-3

x2+1

(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域為(

9

17

，

3( 2 -1)

2

)
∴

9

17

＜a＜

3( 2 -1)

2

（15分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值，解決函數在區(qū)間上的不單調問題，通常轉化為函數在區(qū)間上有解且△≠0