Question

要制作一個(gè)如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5(m2)，其中ABCD是一個(gè)矩形，EFCD是一個(gè)等腰梯形，梯形高h(yuǎn)＝AB，tan∠FED＝，設(shè)AB＝x m，BC＝y(tǒng) m.

(1) 求y關(guān)于x的表達(dá)式；

(2) 如何設(shè)計(jì)x，y的長(zhǎng)度，才能使所用材料最少？

 

 

Answer 1

（1）y＝ x，（2）AB＝3 m，BC＝4 m時(shí)，能使整個(gè)框架用材料最少．

【解析】

試題分析：（1）解實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用題，關(guān)鍵在于正確理解題意，正確列出等量關(guān)系. 在等腰梯形CDEF中，高DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x，∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，∴ y＝ x.求函數(shù)解析式不要忘記交代定義域，∵ x＞0，y＞0，∴ x＞0，解之得0＜x＜.（2）所用材料就是計(jì)算周長(zhǎng)，在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，∴ DE＝＝x×＝x，∴ l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x ＝ x＋6x＝＋x，由基本不等式＋x≥2＝26，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x2＝9，即x＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AB＝3 m，BC＝4 m時(shí)，能使整個(gè)框架用材料最少．

 

【解析】
(1) 如圖，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

依題意：DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x， (3分)

∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，

∴ y＝ x. (5分)

∵ x＞0，y＞0，

∴ x＞0，解之得0＜x＜.

∴ 所求表達(dá)式為y＝ x. 7分（沒(méi)有定義域扣2分）

(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，

∴ DE＝＝x×＝x， 9分

∴ l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x 10分

＝ x＋6x＝＋x≥2＝26， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x2＝9，即x＝3時(shí)取等號(hào)， 15分

此時(shí)y＝ x＝4，

∴ AB＝3 m，BC＝4 m時(shí)，能使整個(gè)框架用材料最少． 16分

考點(diǎn)：基本不等式求最值