Question

16．四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，頂點S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知點P的軌跡為三角形EFG，其中G、F為中點，根據(jù)中位線定理求出EF、GE、GF，從而求出軌跡的周長．

解答 解：由題意知，點P的軌跡為如圖所示的三角形EFG，其中G、F為中點，
此時AC⊥EF，AC⊥GE，則AC⊥平面EFG，則PE⊥AC．
∵ABCD是邊長為2的正方形，∴$BD=2\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵SO=2，OB=$\sqrt{2}$，∴$SB=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
∴GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴軌跡的周長為$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了軌跡問題，以及點到面的距離等有關(guān)知識，同時考查了空間想象能力，計算推理能力，屬于中檔題．