Question

7．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C到直線l的距離d和圓的半徑r，根據(jù)d，r的大小關(guān)系即可得出直線l與圓C相交；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），討論AB的斜率，由K_AB•K_CM=-1，化簡可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）證明：圓C的圓心為C（0，1），半徑為r=$\sqrt{5}$，
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
∴d＜r，
∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}$=-1，化簡可得（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，
即AB中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
也滿足（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．
綜上可得，AB中點(diǎn)M的軌跡方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過定點(diǎn)問題，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．