Question

12．如圖，AB為圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，點C為圓O上的一點．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若AB=2，BC=$\sqrt{3}$AC，PA=AB，點M為PC的中點，求三棱錐B-MOC的體積．

Answer 1

分析 （1）由直徑所對圓周角為直角可得BC⊥AC，再由PA垂直圓O所在的平面，得PA⊥BC，最后結(jié)合線面垂直的判定得答案；
（2）由點M到平面ABC的距離等于點P到平面ABC的距離的$\frac{1}{2}$，把三棱錐B-MOC的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M-BOC的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，
∵C為圓O上的一點，AB為圓O的直徑，
∴BC⊥AC，
又PA垂直圓O所在的平面，
∴PA⊥BC，
則BC⊥平面PAC；
（2）解：∵AB=2，BC=$\sqrt{3}$AC，
∴在Rt△ABC中，可得$AC=1，BC=\sqrt{3}$，
又PA=AB=2，點M為PC的中點，
∴點M到平面ABC的距離等于點P到平面ABC的距離的$\frac{1}{2}$，
∴${V}_{B-MOC}={V}_{M-BOC}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，訓練了利用等積法求三棱錐的體積，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．