Question

4．菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥，使用時(shí)需要用清水清洗干凈，如表是用清水x（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克）的統(tǒng)計(jì)表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（Ⅰ）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并判斷變量x與y的相關(guān)性；
（Ⅱ）若用解析式$\widehat{y}$=cx²+d作為蔬菜農(nóng)藥殘量$\widehat{y}$與用水量x的回歸方程，令ω=x²，計(jì)算平均值$\overline{ω}$和$\overline{y}$，完成如下表格，求出$\widehat{y}$與x回歸方程．（c，d精確到0.01）

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
ωi-$\overline{ω}$
yi-$\overline{y}$

（Ⅲ）對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于20微克時(shí)對(duì)人體無害，為了放心食用該蔬菜，請(qǐng)估計(jì)需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)$\sqrt{5}$≈2.236）．
（附：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中系數(shù)計(jì)算公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （I）以x為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)描點(diǎn)，根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)判斷正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（II）先計(jì)算表格中的數(shù)據(jù)，使用回歸系數(shù)公式求出y關(guān)于ω的回歸方程，再用x²替換回歸方程中的ω；
（III）令y＜20解不等式即可．

解答 解：（I）作出散點(diǎn)圖如圖：
由散點(diǎn)圖可知變量x與y負(fù)相關(guān)．
（II）$\overline{ω}$=$\frac{1+4+9+16+25}{5}$=11，$\overline{y}$=$\frac{58+54+39+29+10}{5}$=38．
填寫表格如下：

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω}_{i}-\overline{ω}$	-10	-7	-2	5	14
yi-$\overline{y}$	20	16	1	-9	-28

∴$\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（-10）×20+（-7）×16+（-2）×1+5×（-9）+14×（-28）=-751，
$\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}$=100+49+4+25+196=374．
∴c=$\frac{-751}{374}$≈-2.01，d=38-（-2.01）×11=60.11．
∴$\stackrel{∧}{y}$=-2.01ω+60.11=-2.01x²+60.11．
（III）令$\stackrel{∧}{y}$＜20，得-2.01x²+60.11＜20，解得x＞$\sqrt{\frac{4011}{201}}$≈4.5．
∴為了放心食用該蔬菜，估計(jì)需要4.5千克的清水洗一千克蔬菜．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了非線性回歸方程的求解，用第三變量對(duì)x進(jìn)行二次擬合是將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題求解．