Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0）．是否存在常數(shù)a，b，c，使不等式x≤f（x）≤$\frac{1+x^2}{2}$，對(duì)?x∈R都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 通過(guò)圖象過(guò)一點(diǎn)得到a、b、c一關(guān)系式，觀察發(fā)現(xiàn)1≤f（1）≤1，又可的一關(guān)系式，再將b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答 解：∵f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$對(duì)一切x∈R均成立，
∴當(dāng)x=1時(shí)也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{a}$-a．
∴f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a．
故x≤ax²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$對(duì)一切x∈R成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-4a（\frac{1}{2}-a）≤0}\\{1-8a（1-2a）≤0}\\{a＞0}\\{1-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$．
∴c=$\frac{1}{2}$-a=$\frac{1}{4}$．
∴常數(shù)a，b，c的值為：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，賦值法（特殊值法）可以使問(wèn)題變得比較明朗，它是解決這類問(wèn)題比較常用的方法．