Question

19．定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：①f（0）=0；②f（x）+f（1-x）=1；③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；④當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂）．則f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件進行遞推，利用兩邊夾的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且①f（0）=0；③f（1-x）+f（x）=1，
令x=1可得f（1）=1．
∵f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$；
再由③可得f（$\frac{1}{3}$）+f（1-$\frac{1}{3}$）=1，故有f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
對于②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；
由此可得 f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{8}$、f（$\frac{1}{81}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{27}$）=$\frac{1}{16}$、f（$\frac{1}{243}$）=$\frac{1}{32}$．f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{64}$，f（$\frac{1}{2187}$）=$\frac{1}{128}$
令x=$\frac{2}{3}$，由f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得 f（$\frac{2}{9}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{2}{27}$）=$\frac{1}{8}$，f（$\frac{2}{81}$）=$\frac{1}{16}$，f（$\frac{2}{243}$）=$\frac{1}{32}$．f（$\frac{2}{729}$）=$\frac{1}{64}$，f（$\frac{2}{2187}$）=$\frac{1}{128}$
再$\frac{1}{2187}$＜$\frac{1}{2016}$＜$\frac{2}{2187}$，可得 $\frac{1}{128}$=f（$\frac{1}{2187}$）≤f（$\frac{1}{2016}$）≤f（$\frac{2}{2187}$）=$\frac{1}{128}$，
得f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$，
故答案為 $\frac{1}{128}$

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及對新定義的理解，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，有一定的難度．